Решение неравенств с модулем методом интервалов

Предварительные навыки

Если неравенство содержит два и более модуля, его удобнее решать методом интервалов.

Процесс решения неравенств с модулем методом интервалов во многом похож на процесс решения уравнений с модулем методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство |7 − x|+|2x + 3|< 16

Решение

Для начала находим такие x, при которых подмодульные выражения 7 − x и 2x + 3 обращаются в ноль. Для этого приравняем эти выражения к нулю и решим простейшие линейные уравнения:

Отметим числа 7 и на координатной прямой. Мéньшие числа отмечаем левее, бóльшие правее:

Получили три промежутка: , и

Теперь необходимо решить исходное неравенство на каждом из этих промежутков. Надо иметь ввиду, что на каждом из этих промежутков модули исходного неравенства могут раскрываться по-разному.

Решим исходное неравенство на первом промежутке

Далее рассуждаем так:

Если , то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет неотрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |2x + 3| на промежутке будет раскрываться со знаком минус.

Тогда в результате раскрытия модулей на промежутке исходное неравенство примет вид:

Решим данное неравенство:

Итак, сейчас мы рассматриваем промежуток . И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство x > −4.

Теперь начинается самое интересное. Надо выяснить выполняется ли неравенство x > −4 на промежутке . Или задать такой вопрос: «при каких значениях промежутка выполняется неравенство x > −4»

Для наглядности нарисуем еще одну координатную прямую и изобразим на ней решения неравенства x > −4 и

На рисунке видно при каких значениях промежутка выполняется неравенство x > −4. Эти значения лежат в промежутке от −4 до

Значит первым нашим решением будет промежуток от −4 до

Решим теперь исходное неравенство на промежутке

Если , то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет неотрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |2x + 3| на промежутке тоже будет раскрываться со знаком плюс.

После раскрытия модулей на промежутке исходное неравенство примет вид:

Решим данное неравенство:

Cейчас мы рассматриваем промежуток . И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство x < 6. Теперь надо выяснить выполняется ли неравенство x < 6 при

Неравенство x < 6 выполняется не на всём промежутке , а лишь на промежутке до 6. Запишем наше второе решение:

Решим теперь исходное неравенство на последнем промежутке

Если , то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет отрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |2x + 3| на промежутке будет раскрываться со знаком плюс.

Тогда в результате раскрытия модулей на промежутке исходное неравенство примет вид:

Решим данное неравенство:

Cейчас мы рассматриваем промежуток . И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство

Теперь надо выяснить выполняется ли неравенство при

Мы видим, что неравенство не выполняется ни при каких значениях промежутка . Это значит, что исходное неравенство на промежутке решений не имеет.

Действительно, возьмём любое число из промежутка , например, число 9 и подставим его в исходное неравенство. В результате получим неравенство которое не выполняется:

Теперь нужно собрать воедино ответы, которые мы получили на каждом промежутке. Чтобы сделать это, просто объединим промежутки и

Ответ: (−4 ; 6).

Пример 2. Решить неравенство: 3|x − 2|+|5x − 4| ≤ 10

Решение

Найдём x, при которых подмодульные выражения x − 2 и 5x − 4 обращаются в ноль. Для этого приравняем эти выражения к нулю и решим простейшие линейные уравнения: