Метод Феррари — это алгоритм решения кубических уравнений, разработанный итальянским математиком Джероламо Кардано в 16 веке. Вот основные шаги этого метода:
1. Приведение кубического уравнения к канонической форме: x^3 + px + q = 0.
2. Вычисление дискриминанта D = (p/3)^3 + (q/2)^2.
3. Если D > 0, уравнение имеет одно действительное и два комплексно-сопряженных корня. Корни находятся по формулам:
— Действительный корень: x = 2 * sqrt(-p/3) * cos(1/3 * arccos(-q/2 * sqrt(-3/p)))
— Два комплексных корня: x = -2 * sqrt(-p/3) * cos(1/3 * arccos(-q/2 * sqrt(-3/p)) +/- i * sqrt(3) * sin(1/3 * arccos(-q/2 * sqrt(-3/p)))
4. Если D < 0, уравнение имеет три действительных различных корня. Корни находятся по формулам:
— x1 = 2 * sqrt(-p/3) * cosh(1/3 * arcosh(-q/2 * sqrt(-3/p)))
— x2 = -2 * sqrt(-p/3) * cosh(1/3 * arcosh(-q/2 * sqrt(-3/p))) + sqrt(3) * sinh(1/3 * arcosh(-q/2 * sqrt(-3/p)))
— x3 = -2 * sqrt(-p/3) * cosh(1/3 * arcosh(-q/2 * sqrt(-3/p))) — sqrt(3) * sinh(1/3 * arcosh(-q/2 * sqrt(-3/p)))
5. Если D = 0, уравнение имеет один действительный корень и два равных действительных корня. Корни находятся по формулам:
— x1 = -2 * sign(q) * sqrt(-p/3)
— x2 = x3 = sign(q) * sqrt(-p/3)
Данный метод является важным историческим достижением в алгебре и дал толчок к развитию других методов решения кубических и более высоких степеней уравнений.
Вот пример применения метода Феррари для решения кубического уравнения:
Пусть дано уравнение: x^3 + 2x^2 — 5x — 6 = 0
Шаги решения:
1. Приведение к канонической форме:
— p = 2
— q = -6
2. Вычисление дискриминанта:
— D = (2/3)^3 + (-6/2)^2 = 8 + 9 = 17 > 0
3. Вычисление корней:
— x = 2 * sqrt(-2/3) * cos(1/3 * arccos(-(-6)/2 * sqrt(-3/2)))
= 2 * sqrt(2/3) * cos(1/3 * arccos(3/2))
= 2 * sqrt(2/3) * cos(60°) = 1
— x = -2 * sqrt(-2/3) * cos(1/3 * arccos(-(-6)/2 * sqrt(-3/2))) + i * sqrt(3) * sin(1/3 * arccos(-(-6)/2 * sqrt(-3/2)))
= -2 * sqrt(2/3) * cos(60°) + i * sqrt(3) * sin(60°)
= -1 + i * sqrt(3)
— x = -2 * sqrt(-2/3) * cos(1/3 * arccos(-(-6)/2 * sqrt(-3/2))) — i * sqrt(3) * sin(1/3 * arccos(-(-6)/2 * sqrt(-3/2)))
= -1 — i * sqrt(3)
Таким образом, корни кубического уравнения x^3 + 2x^2 — 5x — 6 = 0 равны:
x1 = 1, x2 = -1 + i√3, x3 = -1 — i√3
Этот пример демонстрирует, как применяется метод Феррари на практике для решения кубических уравнений. Главный шаг — это вычисление дискриминанта, который определяет форму корней.
