Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Предварительные навыки

Если из обеих частей уравнения извлечь квадратный корень, то полýчится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим следующее уравнение:

x² = 16

Это простейшее квадратное уравнение, имеющее два корня: 4 и −4. Такое уравнение мы решали используя определение квадратного корня.

Согласно определению квадратного корня, число b является квадратным корнем из числа a, если b²= a и обозначается как b = √a.

Тогда в случае x² = 16, можно записать что x = √16, откуда x = ±4.

Теперь решим данное квадратное уравнение путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

«Обернём» обе части уравнения x² = 16 в квадратный корень:

Теперь вспоминаем одно из свойств квадратного корня, которое гласит что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа

Тогда в левой части нашего уравнения получим модуль из x, а в правой части число 4

Получили простейшее уравнение с модулем. Оно имеет два корня: 4 и −4. Запишем это решение в виде совокупности уравнений:

Проверка:

Из правой части уравнения x² = 16 следует извлекать именно арифметический квадратный корень. Ранее мы говорили, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. То есть:

Но в данном случае нас интересует именно неотрицательное значение 4 (его и называют арифметическим квадратным корнем). Потому что если мы извлечем и второй корень (отрицательный −4), то получим уравнение |x|= −4 которое не имеет решений.

Пример 2. Решить уравнение 3x²= 12

Решение

Разделим обе части на 3