Группоид — это алгебраическая структура, которая обобщает концепцию группы, но с более слабыми условиями.
Определение группоида:
Группоид (G, ∘) — это непустое множество G, на котором определена бинарная операция ∘ (называемая умножением), которая удовлетворяет следующим свойствам:
1. Замкнутость: для любых a, b в G, a ∘ b также принадлежит G.
2. Ассоциативность: для любых a, b, c в G, (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).
В отличие от группы, группоид не требует наличия единичного элемента и обратных элементов для каждого элемента множества G.
Примеры группоидов:
1. Множество всех отображений между двумя множествами с операцией композиции отображений.
2. Множество всех линейных операторов над векторным пространством с операцией композиции операторов.
3. Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией композиции бинарных отношений.
Группоиды находят применение в различных областях математики, включая теорию категорий, комбинаторику, топологию и теорию представлений. Они также используются в приложениях, связанных с автоматами, теорией графов и теорией кодирования.
Вот несколько примеров применения группоидов в теории категорий:
1. Категория-группоид:
— Категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами, называется категорией-группоидом.
— Категория-группоид можно рассматривать как обобщение понятия группы, где объекты категории играют роль элементов группы.
2. Фундаментальный группоид:
— Для топологического пространства X можно построить фундаментальный группоид Π(X), элементами которого являются гомотопические классы путей в X.
— Фундаментальный группоид обобщает понятие фундаментальной группы и содержит больше информации о топологической структуре пространства X.
3. Группоиды Ли:
— Группоиды Ли — это группоиды, элементами которых являются гладкие многообразия, а операция умножения также является гладкой.
— Группоиды Ли находят применение в дифференциальной геометрии, теории представлений и математической физике.
4. Категорные группоиды:
— В теории категорий существует понятие категорного группоида — категории, в которой все морфизмы являются изоморфизмами.
— Категорные группоиды используются для описания симметрий в категориях и связаны с теорией двойственности.
Таким образом, группоиды являются важным обобщением понятия группы в теории категорий и имеют многочисленные приложения в различных областях математики.
