Абелева группа (или коммутативная группа) — это фундаментальное математическое понятие в теории групп, обозначающее группу, в которой операция сложения (или умножения) элементов коммутативна. Другими словами, порядок, в котором выполняется операция, не влияет на результат.
Определение
Абелева группа — это группа \( G \) с операцией \(\cdot\) (обычно эту операцию называют сложением или умножением), такая что выполняются следующие условия:
1. Ассоциативность: Для всех \( a, b, c \in G \) выполняется \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).
2. Существование нейтрального элемента: Существует элемент \( e \in G \) (называемый нейтральным или единичным элементом), такой что для любого элемента \( a \in G \) выполняется \( a \cdot e = e \cdot a = a \).
3. Существование обратного элемента: Для каждого элемента \( a \in G \) существует элемент \( b \in G \) (называемый обратным элементом), такой что \( a \cdot b = b \cdot a = e \).
4. Коммутативность: Для всех \( a, b \in G \) выполняется \( a \cdot b = b \cdot a \).
Примеры
— Целые числа с операцией сложения: Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) с операцией сложения является абелевой группой, где нейтральным элементом является 0, а обратным элементом для любого числа \( a \) является \(-a\).
— Рациональные, действительные и комплексные числа: Множества рациональных \(\mathbb{Q}\), действительных \(\mathbb{R}\) и комплексных чисел \(\mathbb{C}\) с операцией сложения также образуют абелевы группы.
— Множество ненулевых рациональных, действительных и комплексных чисел с операцией умножения: Множества ненулевых рациональных \(\mathbb{Q}^*\), действительных \(\mathbb{R}^*\) и комплексных чисел \(\mathbb{C}^*\) с операцией умножения образуют абелевы группы.
Свойства
— Подгруппы: Любая подгруппа абелевой группы также является абелевой группой.
— Фактор-группы: Если \( G \) — абелева группа и \( H \) — её подгруппа, то фактор-группа \( G/H \) тоже будет абелевой.
— Директные произведения: Директное произведение абелевых групп также является абелевой группой.
Историческая справка
Абелевы группы названы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, который внёс значительный вклад в развитие теории групп и алгебры.
Абелевы группы являются основой для изучения более сложных алгебраических структур и играют важную роль в различных областях математики, включая теорию чисел, алгебраическую топологию и теорию представлений.
