Гиперкомплексные числа — это обобщение комплексных чисел, которые имеют более одной мнимой единицы. Основные виды гиперкомплексных чисел включают:
1. Кватернионы — состоят из 4 компонентов, включая одну действительную и три мнимые единицы.
2. Октонионы — состоят из 8 компонентов, включая одну действительную и семь мнимых единиц.
3. Седенионы — состоят из 16 компонентов, включая одну действительную и пятнадцать мнимых единиц.
Гиперкомплексные числа имеют интересные алгебраические свойства, отличающиеся от свойств комплексных чисел. Например, умножение гиперкомплексных чисел не является коммутативным. Гиперкомплексные числа находят применение в различных областях, таких как физика, математика, компьютерная графика и другие.
Основные отличия между кватернионами и октонионами:
1. Размерность:
— Кватернионы состоят из 4 компонентов (1 действительная и 3 мнимые единицы)
— Октонионы состоят из 8 компонентов (1 действительная и 7 мнимых единиц)
2. Ассоциативность:
— Кватернионы образуют ассоциативную алгебру
— Октонионы не являются ассоциативными
3. Коммутативность:
— Умножение кватернионов не является коммутативным
— Умножение октонионов также не является коммутативным
4. Дивизионная алгебра:
— Кватернионы образуют дивизионную алгебру, т.е. каждый ненулевой кватернион имеет обратный элемент
— Октонионы не образуют дивизионную алгебру, т.е. не все ненулевые октонионы имеют обратный элемент
5. Приложения:
— Кватернионы широко применяются в компьютерной графике, физике, навигации и других областях
— Октонионы имеют более узкие применения, в основном в теоретической математике и физике
В целом, кватернионы являются более изученными и применяемыми гиперкомплексными числами по сравнению с октонионами.
Что такое Седенионы?
Седенионы (также известные как конструкция Кэли-Диксона) — это одно из обобщений комплексных чисел, наряду с гиперкомплексными числами, такими как кватернионы и октонионы. Они были введены математиками Артуром Кэли и Джоном Диксоном в конце 19-го века.
Основные свойства седенионов:
1. Седенионы являются 16-мерной гиперкомплексной алгеброй над полем действительных чисел. Они имеют 16 базисных единиц, обозначаемых как 1, i, j, k, e, ei, ej, ek, h, hi, hj, hk, e1, e2, e3, e4.
2. Седенионы не являются ассоциативной алгеброй, в отличие от комплексных чисел и кватернионов. Вместо этого, они образуют альтернативную алгебру.
3. Умножение седенионов не является коммутативным, в отличие от действительных и комплексных чисел.
4. Седенионы имеют деление, но делители нуля существуют. Это означает, что не все ненулевые седенионы имеют обратные элементы.
5. Седенионы находят применение в различных областях математики и физики, таких как теория групп, алгебраическая топология и струнная теория.
Таким образом, седенионы представляют собой интересную и нетривиальную структуру, обладающую свойствами, отличными от более известных комплексных чисел и кватернионов.
