Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии.
Общий вид геометрической прогрессии:
a, a*q, a*q^2, a*q^3, …, a*q^(n-1)
Где:
— a — начальный (первый) член прогрессии
— q — знаменатель прогрессии (постоянный множитель)
— n — количество членов в прогрессии
Основные формулы геометрической прогрессии:
1. Сумма n первых членов:
S_n = a * (1 — q^n) / (1 — q)
2. Сумма бесконечной прогрессии (при |q| < 1):
S_∞ = a / (1 — q)
3. n-й член прогрессии:
a_n = a * q^(n-1)
Геометрические прогрессии широко применяются в различных областях математики, физики, экономики и других наук.
Пример геометрической прогрессии:
Пусть дана геометрическая прогрессия с:
— Первым членом a = 2
— Знаменателем q = 3
Тогда последовательность членов этой прогрессии будет:
2, 2*3 = 6, 2*3^2 = 18, 2*3^3 = 54, 2*3^4 = 162, …
Рассмотрим некоторые вычисления:
1. Пятый член прогрессии (n = 5):
a_5 = a * q^(n-1) = 2 * 3^(5-1) = 162
2. Сумма первых 4 членов (n = 4):
S_4 = a * (1 — q^n) / (1 — q) = 2 * (1 — 3^4) / (1 — 3) = 2 * (1 — 81) / (-2) = 162
3. Сумма бесконечной прогрессии (|q| = |3| > 1, поэтому прогрессия расходится):
S_∞ = a / (1 — q) = 2 / (1 — 3) = не существует
Таким образом, в данном примере мы рассмотрели несколько вычислений, связанных с геометрической прогрессией.
Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S_n = a * (1 — q^n) / (1 — q)
Где:
— S_n — сумма первых n членов прогрессии
— a — первый член прогрессии
— q — знаменатель прогрессии
— n — количество членов, сумму которых нужно найти
Вывод этой формулы:
Пусть дана геометрическая прогрессия:
a, a*q, a*q^2, a*q^3, …, a*q^(n-1)
Сумма первых n членов будет:
S_n = a + a*q + a*q^2 + … + a*q^(n-1)
Умножим обе части на (1 — q):
(1 — q)*S_n = a — a*q^n
Разделив обе части на (1 — q), получим:
S_n = a * (1 — q^n) / (1 — q)
Таким образом, мы вывели общую формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии.
