В математике биквадратом \(x\) называется выражение вида \(x^4\), то есть число, возведённое в четвёртую степень. Часто термин «биквадратное уравнение» используется для обозначения уравнения, в котором переменная возводится в четвёртую степень. Одним из примеров биквадратного уравнения является:
\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \]
где \(a\), \(b\) и \(c\) — коэффициенты.
### Примеры решения биквадратного уравнения
Рассмотрим уравнение:
\[ x^4 — 5x^2 + 4 = 0 \]
Для решения биквадратного уравнения удобно ввести замену переменной \( y = x^2 \), тогда уравнение преобразуется в квадратное относительно \(y\):
\[ y^2 — 5y + 4 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \]
Найдём корни уравнения:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня:
\[ y_1 = 4 \]
\[ y_2 = 1 \]
Теперь вернёмся к переменной \(x\), решая уравнения \( x^2 = y \):
1. \( x^2 = 4 \)
\[ x = \pm 2 \]
2. \( x^2 = 1 \)
\[ x = \pm 1 \]
Таким образом, решением исходного биквадратного уравнения являются четыре значения:
\[ x = \pm 2 \]
\[ x = \pm 1 \]
Решение биквадратных уравнений с помощью замены переменной — это стандартный метод, который упрощает процесс решения. Давайте рассмотрим этот метод шаг за шагом.
Шаги для решения биквадратного уравнения с заменой переменной
Рассмотрим уравнение общего вида:
\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \]
1. Введение новой переменной
Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 \) можно записать как \( (x^2)^2 = y^2 \). Подставив это в уравнение, получим:
\[ ay^2 + by + c = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно новой переменной \(y\).
2. Решение квадратного уравнения
Используем стандартные методы решения квадратных уравнений (например, через дискриминант):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \]
3. Обратная замена переменной
После нахождения корней \(y\), возвращаемся к переменной \(x\), решая уравнение \( y = x^2 \):
\[ x^2 = y \]
Каждое найденное значение \(y\) дает нам два значения для \(x\) (положительное и отрицательное корни).
Пример решения
Рассмотрим конкретное биквадратное уравнение:
\[ x^4 — 5x^2 + 4 = 0 \]
1. Введение новой переменной
Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:
\[ y^2 — 5y + 4 = 0 \]
2. Решение квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение относительно \(y\):
\[ y^2 — 5y + 4 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \]
Найдем корни уравнения:
\[ y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Получаем два значения:
\[ y_1 = 4 \]
\[ y_2 = 2 \]
3. Обратная замена переменной
Теперь вернемся к переменной \(x\):
1. Для \( y_1 = 4 \):
\[ x^2 = 4 \]
\[ x = \pm 2 \]
2. Для \( y_2 = 1 \):
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]
Таким образом, решением исходного биквадратного уравнения являются четыре значения:
\[ x = \pm 2 \]
\[ x = \pm 1 \]
Заключение
Метод замены переменной позволяет свести биквадратное уравнение к квадратному, которое решается стандартными методами. После нахождения корней квадратного уравнения, возвращаемся к исходной переменной, получая все возможные решения биквадратного уравнения.
