Бивектор — это математический объект в алгебре Клиффорда, который представляет собой сумму двух векторов, связанных с двумерным подпространством. Бивекторы используются для представления поворотов, плоскостей и других геометрических объектов в многомерных пространствах.
Более формально, бивектор — это элемент второй внешней степени пространства векторов. Он задается как упорядоченная пара векторов и обозначается как A ∧ B, где ∧ — символ внешнего произведения.
Бивекторы часто используются в геометрической алгебре, теории относительности и квантовой механике для компактного и эффективного описания геометрических объектов и преобразований. Они позволяют выполнять операции, такие как поворот, отражение и другие преобразования, не прибегая к громоздким матричным вычислениям.
Основными операциями с бивекторами являются:
1. Сложение и вычитание бивекторов:
— Бивекторы можно складывать и вычитать, образуя новый бивектор.
— Например, (A ∧ B) + (C ∧ D) = (A + C) ∧ (B + D)
2. Умножение бивектора на скаляр:
— Бивектор можно умножать на скаляр, получая новый бивектор.
— Например, k(A ∧ B) = (kA) ∧ B = A ∧ (kB)
3. Внешнее произведение бивекторов:
— Два бивектора можно перемножить с помощью операции внешнего произведения, образуя новый бивектор.
— Например, (A ∧ B) ∧ (C ∧ D) = (A ∧ B ∧ C) ∧ D
4. Внутреннее произведение бивекторов:
— Два бивектора можно перемножить с помощью операции внутреннего произведения, образуя новый скаляр.
— Например, (A ∧ B) · (C ∧ D) = (A · C)(B · D) — (A · D)(B · C)
5. Вычисление двойственного бивектора:
— Для бивектора A ∧ B можно найти двойственный бивектор, который перпендикулярен A и B.
— Например, для бивектора A ∧ B в трехмерном пространстве, двойственным бивектором будет A × B.
Эти операции позволяют выполнять различные геометрические преобразования и вычисления с бивекторами в широком круге приложений.
