Умножение

Умножение

 

В этом уроке мы погрузимся в изучение умножения чисел. Припомним, что для умножения маленьких чисел используется таблица умножения. Очень важно выучить эту таблицу наизусть, ведь любое умножение больших чисел сводится к умножению маленьких чисел.

Содержание урока

• Однозначные и многозначные числа
• Умножение однозначных чисел
• Умножение на 10, 100, 1000
• Умножение чисел, которые оканчиваются нулями
• Умножение многозначного числа на однозначное
• Умножение многозначных чисел на многозначные
• Задания для самостоятельного решения

Однозначные и многозначные числа

 

Однозначным называется число, которое состоит из одной цифры. Например, следующие числа являются однозначными: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Само слово «однозначные» уже говорит о себе. Однозначное число состоит из одного знака, или цифры.

Многозначным называется число, которое состоит из двух или более цифр. Например, следующие числа являются многозначными: 10, 11, 15, 255, 350, 1000, 12500. Многозначных чисел бесконечно много, их нельзя пересчитать. Кроме того, многозначные числа можно подразделить на несколько видов: двузначные (например, 25), трехзначные (например, 563), четырехзначные (например, 1400) и так далее, в зависимости от количества цифр в числе.

Умножение однозначных чисел

 

Умножение однозначных чисел происходит очень легко, если знаешь таблицу умножения. Приведем несколько примеров: 5 × 5 = 25, 3 × 5 = 15, 7 × 6 = 42, 5 × 8 = 40. В случае, если по какой-то причине вы не можете вспомнить таблицу умножения, всегда можно воспользоваться сложением. Ведь умножение — это многократное сложение.

Например, чтобы умножить число 4 на число 3, нужно просто сложить число 4 три раза.

Умножение на 10, 100, 1000

 

Чтобы умножить число на 10, 100 или 1000, достаточно дописать к исходному числу количество нулей, равное количеству нулей в множителе.

Например, чтобы умножить 12 на 10, нужно просто дописать к числу 12 один ноль, так как в числе 10 есть один ноль. В результате получаем ответ 120.

Еще несколько примеров: 12 × 100 = 1200 (два нуля, так как в числе 100 два нуля), 12 × 1000 = 12000 (три нуля, так как в числе 1000 три нуля), 15 × 100 = 1500 (два нуля), 320 × 100 = 32000 (два нуля). Если нуль стоит не после множителя, а после исходного числа, чтобы получить ответ, нужно просто добавить ноль после множителя.

Например, чтобы умножить 10 на 12, нужно записать множитель 12 и добавить один ноль в конце: 10 × 12 = 120.

Умножение чисел, которые оканчиваются нулями

 

Задача, которую нам необходимо решить, состоит в умножении чисел, оканчивающихся нулями. Если оба числа оканчиваются нулями, мы должны перемножить только цифры, не являющиеся нулями, а затем добавить все нули из обоих чисел к полученному результату.

Давайте рассмотрим пример умножения чисел 20 на 30.

20 × 30

Заметим, что оба числа содержат нули. Сначала перемножим цифры, не являющиеся нулями. В данном случае это цифры 2 и 3. Умножение двух на три дает результат шесть:

20 × 30 = 6

Теперь добавим все нули из обоих чисел к полученному результату. В числе 20 один ноль, а в числе 30 также один ноль. Итого получаем два нуля. Допишем два нуля к числу 6:

20 × 30 = 600

Пример 2. Умножить 40 на 300

Сначала перемножим цифры, не являющиеся нулями. В данном случае это цифры 4 и 3. Умножение четырех на три дает результат двенадцать:

40 × 300 = 12

Теперь добавим все нули из обоих чисел к полученному результату. В числе 40 один ноль, а в числе 300 — два нуля. Итого получаем три нуля. Допишем три нуля к числу 12:

40 × 300 = 12000

Пример 3. Умножить 600 на 3000

Сначала перемножим цифры, не являющиеся нулями. В данном случае это цифры 6 и 3. Умножение шести на три дает результат восемнадцать:

600 × 3000 = 18

Теперь добавим все нули из обоих чисел к полученному результату. В числе 600 два нуля, а в числе 3000 — три нуля. Итого получаем пять нулей. Допишем пять нулей к числу 18:

600 × 3000 = 1800000

Умножение многозначного числа на однозначное

 

Для умножения многозначного числа на однозначное число необходимо умножить каждую цифру многозначного числа на это однозначное число. Например, найдем значение выражения 12 × 3. Записываем данное выражение в столбик, при этом единицы должны быть под единицами. Всё это соединяется знаком умножения ( × )

Далее каждая цифра многозначного числа умножается на 3. Умножение начинается с разряда единиц, т.е. с цифры 2. Два умноженное на три будет шесть. Записываем цифру 6 в разряде единиц нашего ответа:

Теперь умножаем 1 на 3 и получаем 3. Записываем цифру 3 в разряде десятков нашего ответа:

Таким образом, получаем ответ 36.

В данном примере множимым числом было число 12, а множителем — число 3. Число 12 состоит из двух единиц и одного десятка. Наша задача заключалась в том, чтобы увеличить эти две единицы и один десяток в 3 раза. Тогда решая этот пример, можно было бы рассуждать следующим образом:

Увеличим две единицы в 3 раза: 2 × 3 = 6. Получили шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:

Увеличим один десяток в 3 раза: 1 × 3 = 3. Получили три десятка. Записываем цифру 3 в разряде десятков нового числа:

Иногда при умножении одной цифры многозначного числа на однозначное число получается многозначное число. В этом случае сначала записывается одна цифра из разряда единиц, а остальные цифры переносятся на следующий разряд, к которому они будут добавлены после вычисления.

Давайте рассмотрим пример умножения чисел 23 на 6.

Умножаем каждую цифру числа 23 на 6. Начинаем с тройки: 3 × 6 = 18. Восемнадцать не помещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому сначала записываем 8, а 1 переносим на следующий разряд. Эта единица будет прибавлена к результату умножения 2 на 6

Теперь умножаем 2 на 6 и получаем 12, плюс единица, которая досталась от предыдущего умножения. Вычисляем (2 × 6) + 1 = 13

Получаем ответ 138. В данном примере множимым числом было число 23, а множителем — число 6. Число 23 состоит из трех единиц и двух десятков. Наша задача заключалась в том, чтобы увеличить эти три единицы и два десятка в 6 раз. Тогда решая этот пример, можно было бы рассуждать следующим образом:

Увеличим три единицы в 6 раз: 3 × 6 = 18. Получили восемнадцать единиц. Произошло переполнение разряда в разряде единиц. Число 18 состоит из 8 единиц и 1 десятка. Записываем 8 единиц в разряде единиц нового числа, а 1 десяток отправляем к разряду десятков. Этот десяток мы прибавим, когда увеличим два десятка в шесть раз:

Увеличим два десятка в 6 раз: 2 × 6 = 12. Получили двенадцать десятков. Плюс добавляем один десяток, который остался от числа 18. 12 десятков плюс 1 десяток будет 13 десятков. Записываем число 13 в разряде десятков нового числа, образуя окончательный ответ:

Давайте рассмотрим еще один пример. Найдем значение выражения 326 × 5.

Записываем данное выражение в столбик:

Умножаем каждую цифру числа 326 на 5. Начинаем с шестерки: 6 × 5 = 30. Число 30 не помещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому сначала записываем 0, а тройку переносим на следующий разряд:

Теперь умножаем 2 на 5 и получаем 10, плюс тройку, которая досталась от предыдущей операции: (2 × 5) + 3 = 13. Получили число 13, которое не помещается в разряд десятков нашего ответа. Поэтому записываем сначала 3, а единицу переносим на следующий разряд:

Теперь умножаем последнюю тройку на 5 и прибавляем единицу, которая досталась от предыдущей операции: (3 × 5) + 1 = 16. Получили 16. Записываем это число целиком, образуя окончательный ответ:

Умножение многозначных чисел на многозначные

 

При умножении многозначных чисел на многозначные применяется аналогичный метод, как при умножении многозначных и однозначных чисел. Каждая цифра одного многозначного числа умножается на каждую цифру другого многозначного числа. Единственное отличие заключается в том, что в конце получается лесенка ответов, которые нужно сложить. Для лучшего понимания этого процесса рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найдем значение выражения 12 × 14.

Запишем данное выражение в столбик, при этом единицы будут под единицами, а десятки под десятками:

Теперь умножаем каждую цифру числа 12 на каждую цифру числа 14. Делать это надо по очереди, начав с четвёрки. В результате таких действий мы приходим к умножению многозначного числа на однозначное, которое проходили ранее:

Умножив 12 на 4, мы получили число 48, которое записали таким образом, чтобы разряд единиц этого числа оказался под четверкой, на которую мы умножали число 12.

Теперь умножаем 12 на 1:

Умножив 12 на 1 мы получили число 12 и записали его таким образом, чтобы разряд единиц этого числа оказался под единицей, на которую мы умножали число 12.

Мы получили лесенку ответов 48 и 12, которую надо сложить. Складываем и получаем ответ 168

В данном примере множитель 14 это четыре единицы и один десяток. Тогда умножение 12 на 14 можно понимать как увеличение числа 12 в четыре раза и в десять раз. Этим и объясняется появление лесенки в конце решения. Давайте посмотрим как это выглядит на каждом этапе:

Увеличим число 12 в четыре раза, получим число 48

Увеличим число 12 в десять раз, получим число 120. Записываем 120 так, чтобы можно было сложить единицы этого числа с единицами числа 48, а десятки числа 120 можно было сложить с десятками числа 48

Теперь сложим получившуюся лесенку ответов. Единицы сложим с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. В результате образуется окончательный ответ:

Но чаще всего множитель не группируется с помощью разрядов, и умножение выполняют, умножая каждую цифру множимого на каждую цифру множителя.

Пример 2. Найти значение выражения 25 × 36

Записываем данное выражение в столбик

Умножаем каждую цифру числа 25 на каждую цифру числа 36.

Умножим 25 на 6:

Умножаем 25 на 3:

Теперь сложим получившуюся лесенку:

Получили ответ 900.

Рассмотрим большой и сложный пример на умножение: 12305 × 5641. Будем придерживаться ранее изученных правил.

Сначала записываем в столбик данное выражение

Теперь начинаем умножать. Число 12305 надо умножить на каждую цифру числа 5641.

Умножив 12305 на 1, мы получили 12305 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под единицей, на которую мы умножили 12305.

Теперь умножаем 12305 на следующую цифру 4:

Умножив 12305 на 4, мы получили 49220 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под четверкой, на которую умножали 12305.

Умножаем 12305 на следующую цифру 6:

 

Умножив 12305 на 6, мы получили 73830 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под шестёркой, на которую мы умножали 12305.

Теперь умножаем 12305 на последнюю цифру 5:

Умножив 12305 на 5, мы получили 61525 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под пятёркой, на которую умножали 12305.

В результате мы получили большую лесенку, которую надо сложить. Складываем:

Получили окончательный ответ 69412505.

Если вы поняли этот пример, то можно сказать, что умножение больших чисел вы усвоили на отлично.

На этом урок по умножению можно завершить. Обязательно потренируйтесь, решив несколько примеров, которые даны ниже.

Важно отметить, что все эти стрелки и подробные решения, как на картинках в «боевых условиях» рисовать не принято. Нужно уметь сразу записывать ответы, выполняя в уме все вычисления.

Исключением является то, если человек давно не занимался математикой или никогда ею не занимался. В таком случае можно рисовать для себя стрелки и другие вспомогательные схемы для хорошего усвоения материала.

Задания для самостоятельного решения

 

Задание 1. Выполните умножение:

Показать решение

 

Задание 2. Выполните умножение:

Показать решение

 

Задание 3. Выполните умножение:

Показать решение

 

Задание 4. Выполните умножение:

Показать решение