Сложение и вычитание рациональных чисел

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа.

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Запишем решение данного примера покороче:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том как это сделать. Если испытываете с этим затруднения, обязательно повторите урок действия с дробями.

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Вычислим данное выражение в следующем порядке: слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Таким образом, значение выражения равно

Пример 5. Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число

переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно развернём:

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение свернём. Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение

Полученные результаты слóжим .

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

Этот пример можно записать покороче:

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

Запишем решение этого примера покороче:

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − 6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:

Далее вычисляем данное выражение, применяя ранее изученные правила:

Пример 25. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (−4,4) в неправильную дробь

В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и убрать скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко

Пример 26. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь −0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:

Пример 27. Найти значение выражения

Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, можно перевести ее сначала в смешанное число, а затем в неправильную дробь:

После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль и перед полученным ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

Пример 28. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением. Далее переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь. Затем вычислим получившееся выражение, применяя ранее изученные правила:

Пример 29. Найти значение выражения

Переведём десятичные дроби −0,25 и −1,25 в обыкновенные дроби, остальное перепишем без изменения. Получим следующее выражение:

Можно сначала заменить вычитание сложением там, где это можно и сложить рациональные числа одно за другим.

Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа

и , а затем из полученного результата вычесть . Этим вариантом и воспользуемся.

Первое действие:

Второе действие:

Ответ: значение выражения равно −2.

Пример 30. Найти значение выражения

Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное перепишем без изменения:

Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.

Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа и . У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему.

Первое действие:

Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом . У рациональных чисел и одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас

Второе действие:

Ну и слóжим полученное число −7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом . Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, поскольку их сумма будет равна нулю: